A^3=-E となる行列が虚数成分をもつ証明

Eを2×2の単位行列、AをA^3＝－Eなる2×2の複素行列とする。A^2がA－EでもEでもないならばAのある成分に虚数を含む事を示せ。（cruz__F様）

1, ω, ω^2 を 1 の三乗根とする。


A が E の定数倍であるとき

A = kE とすると、k^3 = -1 より、k = -1, -ω, -ω^2
A が実行列であったとすると、k は実数だから k ≠ -ω, -ω^2
このとき k = -1 より A = -E であるから、A^2 = E となり矛盾。


A が E の定数倍ではないとき

trA = t, detA = d とする。
ケイリー・ハミルトンの定理より A^2 - tA + dE = 0 つまり A^2 = tA - dE
A^3 = A(tA-dE) = tA^2 - dA = (t^2-d)A - tdE で、
A は E の定数倍ではないので t^2-d=0, td=1
これを解くと、(t, d) = (1, 1), (ω, ω^2), (ω^2, ω)
ただし 1, ω, ω^2 は 1 の三乗根である。

A が実行列であったとすると、t と d は実数なので、(t, d) ≠ (ω, ω^2), (ω^2, ω)
このとき t = d = 1 より、A^2 = A - E となり矛盾。


よって、A は実行列ではない、すなわちある成分に虚数を含む。