正方形内に作った図形が正三角形と正方形である証明

正方形ABCDがある｡辺AB,BCの中点を順にM,Nとし､内部に∠BMP=∠ABP=∠AMQ=75°,∠ABQ=45°なる点P,Qと､線分MP上に∠BCR=30°なる点Rを置く｡△BNRと四角形NPQRが共に正多角形である事を示せ｡(cruz__F様)

正方形の辺長を 2 としても一般性を失わない。

線分 MP 上に BS=1 となる点 S を取る。
△BMS は二等辺三角形で底角 75°なので、頂角 ∠MBS = 30°
よって、∠SBC = 60°

このとき BC=2, BS=1 であるので △SBC は直角三角形で、∠BCS = 30°
つまり、S は R と一致している。

したがって、BR=1, BN=1, ∠NBR=60°より、△BNR は正三角形である。


△BMQ と △BNQ は合同で、正弦定理より MQ=NQ=√2
また ∠BNQ=105°より、PR⊥NQ

△BNR は正三角形なので NR=1
△BPR において正弦定理より PR=√2
また 四角形MBNR の外角を考えて、∠NRP=45°
よって、PR と NQ の交点を T とすると、 PT=NT=√2/2

したがって 四角形NPQR は長さの等しい対角線が
それぞれの中点で垂直に交わるので正方形である。