2011以下の自然数でF(k)＝2^kを満たす2010次関数の性質

k＝1,2,3,…,2011に対してF(k)＝2^kを満たす2010次関数F(x)について、以下を求めよ。
１）F(2012)－2^(2012)
２）F(2013)－2^(2013)
３）F(0)
４）F(－1)　（cruz__F様）

n = 1,2,3,…,2011 に対して 2010 次関数 G_n(x) を
G_n(x) = Π[m=1..2011, m≠n] (x-m)/(n-m) とする。
この関数は k = 1,2,3,…,2011 (k≠n) に対し G_n(k) = 0 、また G_n(n) = 1 である。

H(x) = Σ[n=1..2011] 2^n G_n(x) とすると、
k = 1,2,3,…,2011 に対して H(k) = 2^k G_k(k) = 2^k
2011 個の x について値が一致する 2010 次関数は同一の関数であるから、
F(x) = H(x) = Σ[n=1..2011] 2^n G_n(x)


１）
2^n G_n(2012) = Π[m=1..2011, m≠n] (2012-m)/(n-m)
　　　　　　　　　= 2011!/(2012-n)×2(-2)^(n-1)/(n-1)!(2011-n)!
　　　　　　　　　= 2×(-2)^(n-1)×2011!/(n-1)!(2012-n)!
これを n=1..2011 で加えると、2012 まで足したものから 2012 の場合を引けばいいので
F(2012) = 2× (1-2)^2011 - 2×(-2)^2011 = -2 + 2^2012
よって F(2012) - 2^2012 = -2


２）
2^n G_n(2013) = Π[m=1..2011, m≠n] (2013-m)/(n-m)
　　　　　　　　　= 2/(2013-n)×(-2)^(n-1)×2012!/(n-1)!(2011-n)!

1/(2013-n) = 1/(2012-n) - 1/(2013-n)(2012-n) より
2^n G_n(2013) = 2×2012×(-2)^(n-1)×2011!/(n-1)!(2012-n)!
　　　　　　　　　　　　　　- 2(-2)^(n-1)×2012!/(n-1)!(2013-n)!

第 1 項を n=1..2011 で加えると、2012 まで足したものから 2012 の場合を引けばいいので
2×2012×(1-2)^2011 + 2012×2^2012 = - 2×2012 + 2012×2^2012
第 2 項を n=1..2011 で加えると、2013 まで足したものから 2012 と 2013 の場合を引けばいいので
- 2× (1-2)^2012 - 2012×2^2012 + 2^2013 = -2 - 2012×2^2012 + 2^2013
よって全て加えると
F(2013) = - 2×2012 - 2 + 2^2013

よって F(2013) = - 2×2012 - 2 = -4026


３）
2^n G_n(0) = Π[m=1..2011, m≠n] (-m)/(n-m)
　　　　　　　 = 2011!/n×2(-2)^(n-1)/(n-1)!(2011-n)!
　　　　　　　 = -(-2)^n×2011!/n!(2011-n)!
これを n=1..2011 で加えると、0 から足したものから 0 の場合を引けばいいので
F(0) = - (1-2)^2011 + 1 = 2


４）
2^n G_n(-1) = Π[m=1..2011, m≠n] (-1-m)/(n-m)
　　　　　　　　= 2/(n+1)×(-2)^(n-1)×2012!/(n-1)!(2011-n)!

1/(n+1) = 1/n - 1/n(n+1) より
2^n G_n(-1) = 2×(-2)^(n-1)×2012!/n!(2011-n)! - 2×(-2)^(n-1)×2012!/(n+1)!(2011-n)!

第 1 項を n=1..2011 で加えると、0 から足したものから 0 の場合を引けばいいので
- 2012(1-2)^2011 + 2012 = 4024
第 2 項を n=1..2011 で加えると、-1 から足したものから 0 と -1 の場合を引けばいいので
-1/2×(1-2)^2012 - 2012 + 1/2 = - 2012
よって全て加えると
F(-1) = 4024 - 2012 = 2012