三角関数の小数値の計算

１）sinα/α＞sinβ/β [0＜α＜β＜π]を示せ。
２）Σ[k＝1,4]sin(10k゜)/4の小数第2位を求めよ。但し√2＝1.41…,√6＝2.44…,√10＝3.16…は用いて良い。（cruz__F様）

１）
f(x) = sinx / x （0＜x＜π）とおくと、
f'(x) = ( x cosx - sinx ) / x^2

g(x) = x cosx - sinx （0≦x＜π）とおくと、
g'(x) = - x sinx ＜ 0
また g(0) = 0 であるから、0＜x＜π において g(x) ＜ 0

よって f'(x) ＜ 0 であるので f(x) は狭義の単調減少関数である。
従って sinα/α＞sinβ/β

なお、これは両辺に π/180 をかけることによって
sina°/a＞sinb°/b （0＜a＜b＜180）
という不等式にも変形できる。


２）
sin10°+ sin20°+ sin30°+ sin40°
　= sin10°+ (1/2 cos10°+ √3/2 sin10°) + 1/2 + (1/2 cos10°- √3/2 sin10°)
　= 1/2 + sin10°+ cos10°
　= 1/2 + √2sin55°

ここで(1)より
sin55°＜ sin54°× 55/54 = 55(1+√5)/216

∴ ( 1/2 + √2sin55°) /4 ＜ 1/8 + 55(√2+√10)/864 ＜ 0.417 ……

一方、
sin55°＞ sin54°= (1+√5)/4 より
( 1/2 + √2sin55°) /4 ＞ 1/8 + (√2+√10)/16 ＞ 0.410 ……

よって求める小数第2位の数字は1