鏡面の作る正三角形中の光の反射回数（未解決）

正三角形ABCの頂点Bから対辺CAに向かって光を撃つ。撃ち出す方向を辺BCから見て角度θ(0＜θ＜π/3)で定義する。光が辺AB、BC、CAで合計2p-3回（pは素数）反射して頂点に到達する様なθでk番目に小さいものをθ_kとする。cosθ_kを求めよ。（nyoki1007様）

（未解決：途中で解答放棄）

△ABC の A や C 方向に三角形を折り返して辺の長さが n の大きな正三角形を作る。
A 方向の頂点を P_0、C 方向の頂点を P_n として、
線分 P_0P_n 上の『格子点』を P_0 側から順に P_i とする。

このとき、線分 AP_i (1≦i≦n-1) が何回『格子線』と交わるかを計算する。

AB と平行な方向の『格子線』と交わるのが i-1 回
BC と平行な方向の『格子線』と交わるのが n-i-1 回
CA と平行な方向の『格子線』と交わるのが n-1 回
このうち3つと同時に交わるのが GCD(n,i)-1 回ある。

よって線分 AP_i が『格子線』と交わる回数は 2n-2i-1-2GCD(n,i) 回である。
実際の状況と照らしあわせれば、これが P_i 方向に向かう光が鏡で反射される回数である。

2n-1-2GCD(n,i) = 2p-3 を満たす (n,i) の解の個数を計算する。

変形すると n-GCD(n,i) = p-1
明らかに n≧p なので n=p+m-1 (mは自然数) とおくと
GCD(p+m-1,i) = m (1≦i≦p+m-2)

p+m-1 は m の倍数であるので、(p+m-1)-m＜i＜p+m-1 の範囲に解は存在しない。
よって GCD(p+m-1,i) = m (1≦i≦p-1)
したがって方程式は最終的に以下のようになる。

GCD(p+m-1,i) = m (1≦i≦p-1, m≧1)

p+m-1=ma, i=mb となる互いに素な (a,b) の数だけ解があるということである。
このとき p-1=m(a-1) より、a は a-1 が p-1 の約数になるすべての値をとる。
また、1≦b≦a-1 より各 a に対して条件を満たす b は φ(a) 個存在する。
ただしφ(a) はオイラーのφ関数である。

よって合計2p-3回（pは素数）反射して頂点に到達する様なθは
Σ [a:(a-1)|(p-1)] φ(a) 個だけ存在する。
ただし (a-1)|(p-1) は a-1 が p-1 の約数であることを意味している。


……で？　（ここで放棄）



最後の式の考察：

p=2 のとき a=2 だけで、φ(2)=1 個。

p=3 のとき a=2, 3 で、φ(2)+φ(3)=3 個。これは
角での反射を (3-1)/(2-1)-1 = 1 回行うものが φ(2)=1 個
角での反射を (3-1)/(3-1)-1 = 0 回行うものが φ(3)=2 個
あることに対応している。

p=5 のとき a=2, 3, 5 で φ(2)+φ(3)+φ(5)=7個。これは
角での反射を (5-1)/(2-1)-1 = 3 回行うものが φ(2)=1 個
角での反射を (5-1)/(3-1)-1 = 1 回行うものが φ(3)=2 個
角での反射を (5-1)/(5-1)-1 = 0 回行うものが φ(5)=4 個
あることに対応している。

p=7 のとき a=2, 3, 4, 7 で φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(7)=13個。これは
角での反射を (7-1)/(2-1)-1 = 5 回行うものが φ(2)=1 個
角での反射を (7-1)/(3-1)-1 = 2 回行うものが φ(3)=2 個
角での反射を (7-1)/(4-1)-1 = 1 回行うものが φ(4)=2 個
角での反射を (7-1)/(7-1)-1 = 0 回行うものが φ(7)=6 個
あることに対応している。

θの大小は b/a の大小で決まるが、それ以前にφ関数の取扱いがこれ以上できそうにない。

合計 2p-1 回（ p は素数）反射なら
Σ [a:(a-1)|p] φ(a) = φ(p+1)+1 になって素数の意味もあるし、
+1 はθ=π/6 のものだからまだ取り扱えそうだが。