周長一定の多角形の最大面積条件

１）周の長さが一定である三角形の面積が最大となるのは正三角形の時であることを示せ。
２）周の長さが一定である凸四角形の面積が最大となるのは正方形の時であることを示せ。（nyoki1007様）

周の長さが等しいn角形の集合を S とし、n角形 T∈S を考える。
「T が S のなかで最大面積ならば、T の任意の隣り合う2辺は等長である」
を、対偶
「T のある隣り合う2辺が等長でないならば、 T は集合 S のなかで最大面積ではない」
を示すことで証明する。

いま、T のある隣り合う2辺 AB と BC が等長でないとする。
このとき、点 A と点 C と焦点として点 B を通る楕円上で
AP = PC となる点 P を（n≧4ならば対角線 ACの外側に）とると、
AB+BC = AP+PC なので n 角形 T'（ n 角形 APC…… ）は集合 S に含まれる。
このとき △ABC ＜ △APC であるので、Tの面積 ＜ T'の面積
よって対偶である
「T のある隣り合う2辺が等長でないならば、 T は集合 S のなかで最大面積ではない」
は示された。

よって元の命題である
「T が S のなかで最大面積ならば、T の任意の隣り合う2辺は等長である」
もまた真である。

１）
条件を満たす三角形は任意の隣り合う2辺が等長な三角形である。
そのような三角形は正三角形しか存在しない。

２）
条件を満たす四角形は任意の隣り合う2辺が等長な四角形である。
そのような四角形は菱型である。
いま菱型の辺長を a とし、１つの角をθとするとその面積は a^2 sinθ。
これはあきらかにθ=π/2 のときが最大となる。
よって条件を満たす四角形は正方形である。


おまけ：
連続4点を取って隣り合う角が等しいことも証明すれば、任意のn角形について同じことが言える。