数字の表記に使用する文字の入れ替わり

A国では1～9のうち2つのアラビア数字が間違って逆に伝わってしまっている。しかしA国の人に「12345を2で割った余りは1である」という式を見せても間違っていないと言った。間違って伝わった可能性のある2数の組み合わせは何通りか。（nyoki1007様）

" "でくくった数字は A 国式の数字表記とする。

(i) "1"=1, "2"=2 であるとき

"12345" を 2 で割った余りが 1 になるには "5" が奇数であればよい。
よってそのような組み合わせは、5 と 379 いずれかが入れ替わる 3 通りと
346789 のうち 2 つが入れ替わる 6_C_2 = 15 通り
合計 18 通り


(ii) "1"=1, "2"≠2 であるとき

"3"=2, "2"=3 のとき 13245 を 3 で割った余りは 0 であり、1 ではない。
"4"=2, "2"=4 のとき 14325 を 4 で割った余りは 1 である。
"5"=2, "2"=5 のとき 15342 を 5 で割った余りは 2 であり、1 ではない。
それ以外の時、
10345 + "2000" を "2" で割った余りが 1 であるということは、
10345 を "2" で割った余りも 1 である
10344 = 2^3×3×431 より、条件を満たす "2" は 6 か 8
よって合計 3 通り


(iii) "1"≠1, "2"=2 であるとき

2 で割った余りは 0 か 1 だが、"1" はそのどちらでもない。
よってそのような入れ替え方は存在しない。


(iv) "1"≠1, "2"≠2 であるとき

21345を1で割った余りは2であるはずがなく、そのような入れ替え方は存在しない。


以上より、条件を満たす数字の入れ替わりは 21 通り