オセロの駒を全て裏返せる条件

nは3以上の自然数とする。n×nの盤上にオセロの駒がすべて黒を上にして敷き詰められている。この状態から「縦または横に連続する３つの駒を選び、現在の状態から裏返す」操作を好きなだけ行なってすべて白が上になるように出来るnはどのような値か。（nyoki1007様）

盤の左上のマスを赤く塗り、その他のマスは
「赤の右、赤の下は黄」、「黄の右、黄の下は青」、「青の右、青の下は赤」
と塗り分ける。

条件にある裏返し方は 3 色のマスの駒を 1 枚ずつ裏返すことになるので、
「赤マスにある白駒の数」「黄マスにある白駒の数」「青マスにある白駒の数」
は常に全て偶数もしくは全て奇数である。

(i) n=3m+1 のとき
赤；3m^2 + 2m +1 マス
黄；3m^2 + 2m マス
青；3m^2 + 2m マス
である。
よって黄マスと青マスの駒を全て白にした時には必ず奇数枚の黒駒が赤マス上に残る。
したがって全て白にすることはできない。

(ii) n=3m+2 のとき
赤；3m^2 + 4m +1 マス
黄；3m^2 + 4m +2 マス
青；3m^2 + 4m +1 マス
である。
よって赤マスと青マスの駒を全て白にした時には必ず奇数枚の黒駒が黄マス上に残る。
したがって全て白にすることはできない。

(iii) n=3m のとき
3 列ずつに区切って、横 3 つ並びで裏返していくことを繰り返せば全て白にできる。


以上より、条件を満たす n は 3 の倍数である。