積分が最小となるパラメータの決定

a、bは実変数とし、p、qは実定数であり、p＜qとする。f(x)＝x^2＋ax＋bとおくとき、pからqまでの|f(x)|の定積分の最小値をp、qを用いて表せ。また最小値を取るときのa、bの条件をp、qを用いて答えよ。（nyoki1007様）

f(x) = x^2+ax+b は f(x) = (x-s)^2-t と変形できる。
ここで変数を s = -a/2, t = a^2/4-b とおきかえた。

I = ∫[x:p→q] |f(x)| dx
　= ∫[x:p→q] |(x-s)^2-t| dx
　= ∫[x:p-s→q-s] |x^2-t| dx

∂I/∂s = |(p-s)^2-t| - |(q-s)^2-t| より

(i) f(p)＞0, f(q)＞0 のとき
∂I/∂s = {(p-s)^2-t} - {(q-s)^2-t} より
∂^2I/∂s^2 = 2(p-s) - 2(q-s) = 2(p-q) ＜ 0

(ii) f(p)＞0, f(q)＜0 のとき
∂I/∂s = {(p-s)^2-t} + {(q-s)^2-t} より
∂^2I/∂s^2 = 2(p-s) + 2(q-s) = 2(p+q-2s) ＜ 0
（∵ f(p)＞0, f(q)＜0 のとき明らかに s＞(p+q)/2）

(iii) f(p)＜0, f(q)＞0 のとき
∂I/∂s = - {(p-s)^2-t} - {(q-s)^2-t} より
∂^2I/∂s^2 = - 2(p-s) - 2(q-s) = -2(p+q-2s) ＜ 0
（∵ f(p)＜0, f(q)＞0 のとき明らかに s＜(p+q)/2）

(iv) f(p)＜0, f(q)＜0 のとき
∂I/∂s = {(p-s)^2-t} - {(q-s)^2-t} より
∂^2I/∂s^2 = - 2(p-s) + 2(q-s) = 2(q-p) ＞ 0

よって |f(p)| = |f(q)| となる s で極小値をもつ可能性があるのは (i)(ii)(iii) の場合である。


(i) f(p)＞0, f(q)＞0 のとき
t ＜ 0 のときは明らかに ∂I/∂t = 0 とはなりえない。
t ≧ 0 のときは方程式 f(x) = 0 は　p≦x≦q に x = s±√t なる解を持つ。

{(p-s)^2-t} - {(q-s)^2-t} = 0 から s=(p+q)/2 を代入すると
I = ∫[x:p→q] |(x-s)^2-t| dx
　= (q-p)×f(p) + 2×1/6 (2√t)^3 - 1/6 (q-p)^3
　= (q-p)×{(q-p)^2/4-t} + 8/3 t^(3/2) - 1/6 (q-p)^3
　= 1/12 (q-p)^3 - (q-p)t + 8/3 t^(3/2)

∂I/∂t = - (q-p) + 4 √t
よって極小値をとる時 t = (q-p)^2/16

これを代入して I の極小値は
(1/12 - 1/16 + 1/24) (q-p)^3 = (q-p)^3 / 16


(ii) f(p)＞0, f(q)＜0 のとき
t＜0 は明らかである。
I = ∫[x:p-s→q-s] |x^2-t| dx
　= ∫[x:p-s→-√t] (x^2-t) dx - ∫[x:-√t→q-s] (x^2-t) dx
　= 2/3 t^(3/2) - 1/3 (p-s)^3 + (p-s)t - 1/3 (q-s)^3 + (q-s)t + 2/3 t^(3/2)
　= 4/3 t^(3/2) + (p+q-2s)t - 1/3 (p-s)^3 - 1/3 (q-s)^3

∂I/∂t = 2√t + (p+q-2s)

しかし一方で
∂I/∂s = {(p-s)^2-t} + {(q-s)^2-t}
　　　　= (p-s)^2 + (q-s)^2 - 2t
　　　　= 2s^2 + 2(p+q)s + (p^2+q^2) - 2t
　　　　= {(p+q-2s)^2 + (p-q)^2 - 4t} / 2
であるので、∂I/∂t と ∂I/∂s が同時に 0 になることはない。
よってこの形に極値は存在しない。


(iii) f(p)＜0, f(q)＞0 のとき
(ii) の左右を反転しただけなので、(ii) と同じくこの形に極値は存在しない。


以上より最小値は (i) の極小値である (q-p)^3 / 16

このとき
f(x) = (x-s)^2-t
　　 = {x-(p+q)/2}^2 - (q-p)^2/16
　　 = x^2 - (p+q)x + (q+p)^2/4 - (q-p)^2/16
　　 = x^2 - (p+q)x + (3p^2 + 10pq + 3q^2)/16 より

a = - (p+q), b = (3p^2 + 10pq + 3q^2)/16