偶数次の項のみからなる8次方程式

以下の方程式の解を、二重根号を出来るだけ外した形で表せ。
１）x^8－x^6－4x^4＋2x^2＋4＝0
２）x^8－240x^6＋968x^4－960x^2＋16＝0
３）x^8＋4x^6＋40x^2＋4＝0　　（cruz__F様）

１）

x^8 - x^6 - 4x^4 + 2x^2 + 4 = 0

(x^8 - 4x^4 + 4) - (x^6 - 2x^2) = 0

(x^4 - 2)^2 - x^2 (x^4 - 2) = 0

(x^4 - 2) (x^4 - x^2 - 2) = 0

(x^2 + √2) (x^2 - √2) (x^2 + 1) (x^2 - 2) = 0

∴ x = ±√2, ±[4]√2, ±i, ±[4]√2 i

ただし [4]√ は4乗根を表す。


２）

x^8 - 240x^6 + 968x^4 - 960x^2 + 16 = 0

左辺 = (x^4 - 120x^2 + A)^2 - B (x^2 + C)^2 とおいて展開すると、

左辺 = x^8 - 240x^6 + (2A - B + 14400)x^4 - (240A + 2BC)x^2 + A^2 - BC^2

2A - B + 14400 = 968
240A + 2BC = 960
A^2 - BC^2 = 16
を同時に満たす A, B, C の組を1つ探すと、
A=4, B=13440, C=0 がこの方程式を満たす。

よって

(x^4 - 120x^2 + 4)^2 - 13440 (x^2)^2 = 0

x^4 - 120x^2 + 4 = ± 8√210 x^2

x^4 - (120±8√210)x^2 + 4 = 0

x^2 = 60±4√210 ± √(6956±480√210) （最初と3番目の複合は同順、2番目は任意）
　　= 60±4√210 ± 2√(1739±2√756000)

足して 1739、かけて 756000 になる2数は
t^2 - 1739t + 756000 = 0 を解の公式で解いて 875 と 864

よって
x^2 = 60±4√210 ± 2(√875±√864) （最初と3番目の複合は同順、2番目は任意）

x^2 = 60±4√210 ± (10√35±24√6) （最初と3番目の複合は同順、2番目は任意）

x^2 = 60±10√35 ± (24√6±4√210) （最初と3番目の複合は同順、2番目は任意）
（複合を組み替えた）

x^2 = 5(12±2√35) ± 2√6(12±2√35) （最初と3番目の複合は同順、2番目は任意）

x^2 = (5±2√6) (12±2√35) （複合任意）

x = ±(√3±√2) (√7±√5) （複合任意）



３）

x^8＋4x^6＋40x^2＋4＝0

左辺 = (x^4 + 2x^2 + A)^2 - B (x^2 + C)^2 とおいて展開すると、

左辺 = x^8 + 4x^6 + (2A - B + 4)x^4 + (4A - 2BC)x^2 + A^2 - BC^2

2A - B + 4 = 0
4A - 2BC = 40
A^2 - BC^2 = 4
を同時に満たす A, B, C の組を1つ探す。

(A^2-4) B - (BC)^2 = 0
(A^2-4) (2A+4) - (2A-20)^2 = 0
A^3 + 36A - 208 = 0
(A-4) (A^2+4A+52) = 0

よって A=4, B=12, C=-1 が方程式を満たす。

したがって
(x^4 + 2x^2 + 4)^2 - 12(x^2 - 1)^2 = 0

x^4 + 2x^2 + 4 ± 2√3(x^2 - 1) = 0

x^2 = - (1±√3) ± 2√(±√3) （最初と3番目の複合は同順、2番目は任意）

つまり
x^2 = - (1+√3) ± 2[4]√3, - (1-√3) ± 2[4]√3i（複合任意）

x = (±[4]√3±1)i, ±[4]√3±i（複合任意）

ただし [4]√ は4乗根を表す。