円と双曲線の内側にある格子点の個数

x^2＋y^2≦1000、|x^2－y^2|≦20を共に満たす整数(x、y)は何組あるか求めよ。（cruz__F様）

(i) |x|≠|y| でいずれも 0 でない場合
|(x+y)(x-y)|≦20
x+y と x-y は偶奇が一致するので、これは
1×3, 1×5, 1×7, 1×9, 1×11, 1×13, 1×15, 1×17, 1×19,
2×4, 2×6, 2×8,
3×5
と、積の順序を入れ替えたもの、さらにそれぞれを負の数にしたもので
14×2×2×2 = 112 組がある。


(ii) x と y の片方だけが 0 の場合
x=0 とすると、y^2≦20
これの正の解は y=1, 2, 3, 4 の 4 つある。
符号を入れ替えたものが同じだけあり、
さらに y=0 のものもあるので、全部で 4×2×2 = 16 組ある。


(iii) |x|=|y| の場合
x^2≦500 であるから、両方非負のものが 0 から 22 まで存在する。
0 以外はそれぞれ符号を変えたものが存在するので、
22×4+1 = 89 組ある。


これらを合計して 112+16+89 = 217 組