異なる数字のみで構成された自然数列

初項、公差共に1の等差数列から、10進表記すると同じ数字を含む項を除いた数列について、以下を求めよ。
１）項数
２）2＾20が第何項か
３）初項から末項までの総和　（cruz__F様）

これは、異なる数字のみで構成された自然数を小さい順にならべた数列である。

１）
N 桁の数の個数を数える。
0123456789 のうち N 個並べるのは 10_P_N 通りある。
そのうち先頭に 0 が並んでいるものが 10 個に 1 個あるので
10_P_N × 9/10 が N 桁の数の個数である。

N=1..10 で 10_P_N を全て加えると 9864100 となるので、
これに 9/10 をかけて 8877690


２）
2^20 = 1048576

６桁以下の数は 10_P_N × 9/10 を N=1..6 で加えて 168570 個ある
10[2か3]XXXX という数は 2×7_P_4 = 1680 個
104[2か3か5か6か7]XXX という数は 5×6_P_3 = 600 個
1048[2か3]XX という数は 2×5_P_2 = 40 個
10485[2か3か6]X という数は 3×4_P_1 = 12 個
104857[2か3] という数は 2 個
これらを合計すると 2^20 より小さい数は 170904 個ある
よって 2^20 は 170905 番目


３）
N 桁の数の総和を考える。

先頭に0を並べてもよいと考えると、任意の桁の平均値は 9/2 であるので、
その合計は ( 1 を N 個書き並べた数) × 9/2 × 10_P_N

そのうち先頭が 0 のものが 9_P_(N-1) 個あり、任意の桁の平均値は 5 であるので
その合計は ( 1 を N-1 個書き並べた数) × 5 × 9_P_(N-1)

よって N 桁の数の総和は

(10^N-1)/9 × 9/2 × 10_P_N - {10^(N-1)-1}/9 × 5 × 9_P_(N-1)
　= (10^N-1)/9 × 9/2 × 10_P_N - {10^(N-1)-1}/9 × 5 × 9_P_(N-1)
　= { (10^N-1) - {10^(N-1)-1}/9 } × 5 × 9_P_(N-1)
　= 988...8 × 5 × 9_P_(N-1)　（ 988...8 は 8 が N-1 個並んでいる)

N=1..10 で全て加えると、合計は 19829418676096455