サイコロを何度か振って合計がnになる確率

初めに0があり、サイコロを振って出た目の数だけ加算する事を繰り返す。加算後に正整数nが表れ得る確率をP_nとする。
1）P_n[n≦6]をnの式で表せ。
2）lim[n→∞]P_nを求めよ。（cruz__F様）

１）
1≦n≦6 のとき
P_n = 1/6 + 1/6 P_1 + 1/6 P_2 + …… + 1/6 P_(n-1)

添字をずらして引くと P_(n+1) - P_n = 1/6 P_n
P_(n+1) = 7/6 P_n

P_1 = 1/6 だから、P_n = 7^(n-1)/6^n


２）
1≦n のとき
P_(n+6) = 1/6 P_(n+5) + 1/6 P_(n+4) + 1/6 P_(n+3) + 1/6 P_(n+2) + 1/6 P_(n+1) + 1/6 P_n

七項間漸化式を変形して
6P_(n+6) + 5P_(n+5) + 4P_(n+4) + 3P_(n+3) + 2P_(n+2) + P_(n+1)
　　　　　　= 6P_(n+5) + 5P_(n+4) + 4P_(n+3) + 3P_(n+2) + 2P_(n+1) + P_n

よって {6P_(n+5) + 5P_(n+4) + 4P_(n+3) + 3P_(n+2) + 2P_(n+1) + P_n} は恒等数列。
その値を S とすると、

　　 S = 　　　　　6P_6 + 5P_5 + 4P_4 + 3P_3 + 2P_2 + P_1 から
7/6 S = 7P_6 + 5P_6 + 4P_5 + 3P_4 + 2P_3 + P_2　を引いて

-1/6 S = -7P_6 + P_6 + P_5 + P_4 + P_3 + P_2 + P_1
　　　　　= -(7/6)^6 + 1/6×{(7/6)^6-1}/{(7/6)-1} = -1
よって S = 6
つまり 6P_(n+5) + 5P_(n+4) + 4P_(n+3) + 3P_(n+2) + 2P_(n+1) + P_n = 6

したがって、仮に P_n が値 P に収束するとすれば 21P = 6 より P = 2/7 以外にありえない。


P_n が実際に 2/7 に収束することを証明する。
P_n から P_(n+5) までの 6 つの数の中には
2/7 以上のものと 2/7 以下のものが必ず存在するはずである。
よってこのうち最大のものから 2/7 を引いたものを Q_n,
最小のものから 2/7 を引いたものを R_n とすると、Q_n ≧ 0, R_n ≦ 0

七項間漸化式より P_n から P_(n+5) までの 6 つの数の最大値よりも
P_(n+6) の方が大きいということはないので Q_(n+1) ≦ Q_n

ここで、P_(n+6) ≦ 5/6 (Q_n+2/7) + 1/6 (R_n+2/7) ≦ 5/6 Q_n + 2/7
P_(n+7) ≦ 5/6 Q_(n+1) + 2/7 ≦ 5/6 Q_n + 2/7
中略
P_(n+11) ≦ 5/6 Q_(n+5) + 2/7 ≦ 5/6 Q_n + 2/7
したがって Q_n の定義から、Q_(n+6) ≦ 5/6 Q_n
一方で Q_(n+6) ≧ 0
したがって n→∞ において Q_n →0

大小を入れ替えて同様の議論から R_n →0

いま、R_n + 2/7 ≦ P_n ≦ Q_n + 2/7 であるから、
はさみうちの原理より P_n は実際に収束し、lim[n→∞] P_n = 2/7