三角形の五心を各辺に対して対称移動してできる三角形

△ABCの内部の点Oに対し、直線AB、BC、CAについての対称点をそれぞれ点P、Q、Rとする。△PQRが正三角形のとき、△ABCも正三角形であることを点Oが△ABCの
１）内心
２）外心
３）垂心
であった場合について証明せよ。（nyoki1007様）

直線AB, BC, CA はそれぞれ OP, OQ, OR の垂直二等分線である。


１）
点 O が △ABC の内心であるとき、OP = OQ = OR
すなわち点 O は △PQR の外心である。
ゆえに △PQR が正三角形のとき、OP, OQ, OR の垂直二等分線は正三角形となる。
よって △ABC も正三角形。


２）
点 O が △ABC の外心であるとき、OA = OB = OC
よって、AP = PB = BQ = QC = CR = RA である。
△PQR が正三角形のとき △RAP ≡ △PBQ ≡ △QCR、
よって △APB ≡ △BQC ≡ △CRA なので AB = BC = CA
したがって △ABC も正三角形。

おまけ：やろうと思えば一般の三角形の場合に △ABC ≡ △PQR がいえるはず。


３）
OP⊥AB かつ OC⊥AB より OP//OC
同様に OQ//OA, OR//OB
よって △ABC と △PQR は相似である。
したがって △PQRが正三角形のとき △ABC も正三角形である