正四面体の二頂点と辺上の無作為な点を結んでできる三角形

1辺の長さが1の正四面体OABCの辺上にランダムに点Pをおく。
１）△OAPの面積の期待値を求めよ。
２）OAの中点をMとする。△OMPの面積の期待値を求めよ。
ただしいずれの場合も３点が三角形を形成しないときは面積を0とする。（nyoki1007様）

１）
点 P を辺 OA 上にあるとき
三角形はできないので期待値は 0

点 P が辺 AB 上にあるとき
S = 1/2×1×AP×sin(π/3) = √3/4 AP
AP の期待値は 1/2 であるから S の期待値は √3/8

点 P が辺 AC 上、辺 OB 上、辺 OC 上にあるとき
同様に S の期待値は √3/8


点 P が辺 BC 上にあるとき
BP = x+1/2 とするとき、S = 1/2×1×√(1/2+x^2)
よってその期待値は
I = ∫[x:-1/2→1/2] 1/2 √(1/2+x^2) dx
　= ∫[x:0→1/2] √(1/2+x^2) dx

x = 1/√2 sinht とおくと √(1/2+x^2) = 1/√2 cosht また dx = 1/√2 cosht dt
また x = 1/2 のとき e^t = (√2+√6)/2 より t = log((√2+√6)/2)

したがって
I = 1/2 ∫[t:0→log((√2+√6)/2)] cosh^2t dt
　= 1/4 ∫[t:0→log((√2+√6)/2)] 1 + cosh(2t) dt
　= 1/4 (log((√2+√6)/2) + 1/2 sinh(2log((√2+√6)/2)))
　= 1/4 log((√2+√6)/2) + 1/16 (((√2+√6)/2)^2 - ((√2+√6)/2)^(-2)))
　= 1/8 log(2+√3) + √3/8


以上より求める期待値は
√3/8 × 2/3 + (1/8 log(2+√3) + √3/8) × 1/6
　= (log(2+√3) + 5√3)/48

２）
点 P がどこにあっても △OMP = 1/2 △OAP なので
期待値は (log(2+√3) + 5√3)/96