1000を互いに素な自然数の和に書く方法

１）自然数nを２つの自然数p,qの和(n＝p＋q)に分解した時、常にp,qが互いに素であるならば、nは素数であることを示せ。
２）1000を２つの互いに素な自然数の和に分解する方法は何通りか。ただし和の順番を入れ替えたものは同じとみなす。（nyoki1007様）

１）
n=1 のときは 2 つの自然数の和に書き表せない。よって仮定は常に偽であるため結論の妥当性に関わらず命題は真。
よって「常に p, q が互いに素であるならば、1=p+q は素数である」は真。

n≧2 のときを考える。
対偶「nが素数でないならば、互いに素でないある自然数 p, q を用いて n = p+q と書ける」
を証明する。
n≧2 かつ n は素数でないので n は合成数、
つまり 1 とも n とも異なる n の約数 p が存在する。
このとき q = n-p は p の約数であるので、
互いに素でないある自然数 p, q を用いて n = p+q と書けた。
したがって対偶が示された。

以上より、与えられた命題は示された。


２）
1000 を 2 つの自然数の和に分解する方法は 500 通り。
そのうちどちらも 2 の倍数であるものが 250 通り。
どちらも 5 の倍数であるものが 100 通り。
どちらも 10 の倍数であるものが 50 通り。
よって求める組み合わせは、500-250-100+50 = 200 通り