台形を各辺で回転させたときの体積比と辺長比の関係（一部未解決）

AB//CD、AB<CDである台形ABCDについてAB、BC、CD、DAを軸として一回転させて出来るそれぞれの立体の体積比がp:q:r:sであるとき、AB:BC:CD:DAをp,q,r,sで表わせ。（DrGojiMoriCun様）

半直線 DA と半直線 CB の交点を E とする。

パップス＝ギュルダンの定理より、p:q:r:s は重心 G から各辺までの距離の比である。
AB の中点を M, CD の中点を N とすると
3 点 E, M, N は同一直線上にあり、G も明らかに線分 MN 上にある。

また、G は EM を 2:1 に内分する点と EN を 2:1 に内分する点とを結ぶ線分を
EN^2:EM^2 に外分した点にあるので、
MG = (2EN/3-2EM/3)×EN^2/(EN^2-EM^2) - 1/3 EM
　　= 2EN^2/3(EN+EM) - 1/3 EM
　　= (2EN^2-EMEN-EM^2)/3(EN+EM)
　　= (2EN+EM)(EN-EM)/3(EN+EM)

GN = EN - EM - MG
　　= (EN^2+EMEN-2EM^2)/3(EN+EM)
　　= (EN+2EM)(EN-EM)/3(EN+EM)

よって MG:GN = (2EN+EM):(EN+2EM) である。
いま EM:EN = AB:CD であり、MG:GN = p:r であるから
p:r = (2AB+CD):(AB+2CD) より AB:CD = (2p-r):(2r-p)


G を通り AB と平行な線を引く。これと EC, ED で囲まれる三角形は EN で二等分される。
よって BC:DA = 1/q:1/s = s:q


（ここまでで投了）

あとは AB:BC が出れば終わるんですが、これの出し方がわかりません。
対称性から、AB と (BCとDAの対称式) の比を pかr と (qとsの対称式) の関係で出すのかな、
と思ったりもしますが具体的にどうやればいいかわからず。

座標設定して強引に力づくで求めればできないことはないのかもしれませんが……。