各桁の和がnとなる4桁の自然数の個数

４桁の自然数がある。その各位の数の和をn、nが同じである自然数の個数をAnとする(例えば1001はn=2、A2=4)。Anは1≦n≦9でAn=Bn、10≦n≦18でAn=BnーCnと表せる。BnとCnをnの式で表しなさい。（kesuidanokisa様）

1≦n≦9 のとき
n-1 個の「1」と 3 個の「X」を並べ替えてから一番左に「1」をくっつける。
「X」で区切られた各区間の「1」の数を各桁の数とすれば、
この並べ方は各位の数の和が n である4桁の自然数と1対1に対応する。

よってその総数は B_n = (n+2)_C_3 = n(n+1)(n+2)/6


n≧10 のとき
「1」が 10 個以上並んでしまった場合は対応する自然数が存在しないので、
そのような並べ方の総数 C_n を B_n から差し引かなければならない。

千の位が 10 以上になる並べ方の総数
n-10 個の「1」と 3 個の「X」を並べ替えてから一番左に「1」を 10 個くっつける。
その総数は (n-7)_C_3 = (n-7)(n-8)(n-9)/6 通り

百の位が 10 以上になる並べ方の総数
n=10 のときは 0 通り
n≧11 のとき、n-11 個の「1」と 3 個の「X」を並べ替えてから、
一番左に「1」を 1 個、最初の「X」の右に「1」を 10 個くっつける。
その総数は (n-7)_C_3 = (n-8)(n-9)(n-10)/6 通り
この式は n=10 のときも成り立つ。

十の位、一の位に対しては百の位と同じ総数である。

n≦19 のときこの 4 つの並べ方に重複はないので、
C_n = (n-7)(n-8)(n-9)/6 + (n-8)(n-9)(n-10)/6 × 3 = (n-8)(n-9)(4n-37)/6


疑問：
n≦19 でもいいのに、なんで n≦18 なんだろう？