加法定理を用いずに倍角公式を証明

加法定理を用いずに、sin2θ＝2sinθcosθ、cos2θ＝cos^2θ-sin^2θを証明せよ。（massu816様）

θが鋭角の場合について証明する。

(i) 正弦について
AB = AC = √2, ∠A = 2θ の二等辺三角形を考えると、
sin2θ というのはこの三角形の面積である。
一方で、BC を底辺と考えると、底辺 = 2√2 sinθ、高さ = √2 cosθ なので、
この三角形の面積は 1/2×2√2 sinθ×√2 cosθ = 2 sinθ cos θ と求められる。
よって sin2θ = 2 sinθ cosθ

(ii) 余弦について
同じ三角形について余弦定理より
cos2θ = { (√2)^2 + (√2)^2 - (2√2 sinθ)^2 } / 2×√2×√2 = 1 - 2sin^2θ
1 を cos^2θ+sin^2θ に書き換えると、
cos2θ = cos^2θ - sin^2θ


一般角θについては、鋭角の場合の関係式が引き続き成り立つように拡張したものである。
よってこの関係式が成り立つことは要請されている。