f(x)=(-1)^[πx] に関する性質

f(x)=(-1)^[πx]とする。ただし[a]はa以下の最大の整数である。Sn=Σ[k=1,n]|f(k)-f(k-1)|とおく。このとき、lim[n,∞]Sn/2nを求めよ。（me_me_she4645様）

π は無理数であるので、任意の自然数 k に対して kπ は整数ではない。
よって、[-kπ] = - [kπ] - 1

したがって、自然数 k に対し、
f(k) = (-1)^[kπ]
　　 = - (-1)^([-kπ])
　　 = - (-1)^(4k+[-kπ])
　　 = - (-1)^[k(4-π)]

また f(0) = (-1)^0 = 1

よって f(k) は k(4-π) の整数部分が偶数なら -1 、奇数なら 1 を返す関数である。
ただし k=0 に対しては例外的に 1 を返す。

k≧2に対して、g(k)=|f(k)-f(k-1)| は f(k) と f(k-1) が一致すれば 0、
そうでない場合には 2 を返す関数である。

すなわち、k(4-π) と (k-1)(4-π) の偶奇が一致すれば 0、そうでない場合には 2 である。

いま、4-π＜1 であるから、k(4-π) の整数部分は間の整数を飛ばすことなく増えていく。
よって k=1 から k=n まで順番に考えると、
その偶奇が変わる ことは [n(4-π)] - [(4-π)] = [n(4-π)] 回ある。
また、f(1) と f(0) は異符号であるので |f(1)-f(0)| = 2

よって Sn = Σ[k=1..n]|f(k)-f(k-1)| = 2 [n(4-π)] + 2

x→∞ で [x]/x → 1 を利用すると、
Sn/2n = [n(4-π)]/n + 1/n
　　　　= (4-π)×[n(4-π)]/n(4-π) + 1/n → 4-π