円周上の3点を始終点とするベクトルの内積の最小値

半径rの定円（回転や平行移動を許さない固定されている円）の円周上に３点P、Q、Rをとるとき、ベクトル「PQ↑」とベクトル「PR↑」の内積の最小値を求めよ。（nh_y_2390様）

PQ↑を固定して点 R を動かすと、∠QPR が鈍角になるような範囲のうちで、
点 R での接線が線分 PQ と直交するときに最小値を取る。
この時、円の中心を O とすると、PQ//OR

同様に PR↑を固定して点 Q を動かすと、∠QPR が鈍角かつ PR//OQ のときに最小。

対称性から点 P は固定して考えて点 Q, R を両方動かすと、
∠QPR が鈍角かつ PQ//OR かつ PR//OQ のときに最小値となる。
これは OP を対角線とし ∠P = 2π/3 で一辺 r の菱型 OQPR ができたときである。

よって最小値は PQ↑・PR↑= r×r×cos(2π/3) = -r^2/2