4つの角度が指定された四角形の対角線の長さ

90°,112.5°,45°,112.5°の内角を持つ四角形を考え、それぞれの角に対応する頂点をA,B,C,Dとおく。線分ABの長さを1としたときの線分ACの長さを、三角関数を用いずに求めよ。（orga_chem様）

辺 AD を A 側に、辺 BC を B 側にそれぞれ延長し、交点を E とする。
三角形 EAB は AB=1, ∠A=90°, ∠B=67.5°, ∠E=22.5°の直角三角形である。

いま、点 C はこの三角形の辺 EB を B 側に延長したどこかにあるが、
その位置は不定で、いくらでも遠くに点 C をとれる。
よって AC の長さはいくらでも大きくなる。

また、最小は辺 AD が限りなく 0 に近い時である。
このとき点 A から線分 EC に降ろした垂線の足を F とすると三角形 DFC は
∠F=90°, ∠C=∠D=45°の直角二等辺三角形で、AC=x とすると AF=CF=x/√2

ここで AB は ∠A を二等分しているので、
FB = CF/(1+√2) = (√2-1)x/√2

三角形 ABF に三平方の定理を適用して、
{(√2-1)x}^2/2 + x^2/2 = 1
x^2 = (2+√2)/2
x = √(4+2√2) /2

これは点 A と点 D が一致して四角形が三角形になってしまった時の値なので、
実際の対角線 AC の長さは AC ＞ √(4+2√2) /2 の任意の値をとる。