f(a)とf'(a)が互いに素でないaの条件

aを2以上の自然数とする。f(x)＝x^3-x-1について、f(a)とf'(a)の最大公約数が1とならないようなaの値を小さい方から3つ挙げ、そのときの最大公約数をそれぞれ求めよ。（ponpeiu様）

f(a) = a^3-a-1 と f'(a) = 3a^2-1 がともに p (≧2) の倍数であるとすると、
a(3a^2-1) - 3(a^3-a-1) = 2a+3 も p の倍数であるはずである。

すると
4(3a^2-1) - (6a-9)(2a+3) = 23 も p の倍数であるはずである。

しかし 23 の約数は 1 と 23 しか存在しないので、p = 23 しかありえない。

2a+3 が 23 の倍数となるような a の値は a = 23m+10 (mは非負整数)
これが a の必要条件である。

このとき、
f(a) ≡ 10^3 - 10 - 1 = 989 = 23×43 ≡ 0 (mod23)
f'(a) ≡ 3×10^2 - 1 = 299 = 23×13 ≡ 0 (mod23)
となるから、 a = 23m+10 (mは非負整数) は十分条件でもある。

よって m = 0, 1, 2　として小さい方から 3 つは a = 10, 33, 56
最大公約数はいずれの場合も 23 である。