赤青の立方体27個を積んだときの異なる色の隣接数の期待値

27個の同じ大きさの立方体がありそのうち20個は赤色で7個は青色である。この27個の立方体を積み上げて3×3×3の立方体を作った時、赤と青の立方体が隣り合っている箇所の個数の期待値を求めよ。（prime_132様）

赤立方体に接する青い面の個数を数えればよい。

1 つの青立方体の 1 つの面に着目する。
まず大きな立方体を作った時にこの面が表出しない確率は 1 - 9×6 / (6×27) = 2/3
表出しなかった時に、その面に隣り合う立方体が赤立方体である確率は 20/26 = 10/13
よって、この面が赤立方体と隣接する確率は 2/3 × 10/13 = 20/39

青立方体の面は 7 つ合計で 42 面あるので、求める期待値は 20/39 × 42 = 280/13