正方形内部の点と頂点を結んだときにまわりにできる角度

正方形ABCDの内部にある点Oに対しOC：OD：OA=1：2：√5であるとき、∠BOCの大きさを求めよ。（nyoki1007様）

OC=1, OD=2, OA=√5 の場合を考える。
正方形 ABCD の一辺の長さを a とすると、
余弦定理より
cos∠ODA = (a^2-1)/4a
cos∠ODC = (a^2+3)/4a
∠ODA と ∠ODC は余角の関係であるので、cos^2∠ODA + cos^2∠ODC = 1
よって、{(a^2-1)/4a}^2+{(a^2+3)/4a}^2 = 1 を解いて、
a = ±1, ±√5
点 O が正方形の内部にあるので a = √5 である。

AB = AO = AD = √5 より、点 A を中心とする半径 √5 の円は △BOD の外接円である。
したがって円周角の定理より ∠BOD = 3π/4
また、OC=1, OD=√2, CD=√5 より ∠COD = π/2
よって、∠BOC = 3π/4

OC=1, OD=2, OA=√5 でない場合もこれの相似形であるので、∠BOC = 3π/4 である。