接線について二度対称移動した円の通る領域

半径1の円Cの中心から距離r (r＞1)離れた点をAとする。Aから円Cに２接線L,Mを引き、円CをLについて対称移動させてさらにMについて対称移動させた円をC'とする。点Aを動かしたとき、円C'の周と内部が通過しうる領域の面積S(r)を求めよ。（nyoki1007様）

C と C' の中心間の距離を d とすると、
d＞1 のとき S(r) = π( (d+1)^2 - (d-1)^2 ) = 4πd
d≦1 のとき S(r) = π(d+1)^2

ここで、L と M のなす角をθとすると、
cosθ = (2r^2-4)/2r^2 = (r^2-2)/r^2
よって sin^2θ = 1 - cos^2θ = 4(r^2-1)/r^4
したがって、d = 2r sinθ = 4√(r^2-1)/r

よって、
d＞1 のとき、すなわち r＞4√15/15 のとき S(r) = 16π√(r^2-1)/r
d≦1 のとき、すなわち r≦4√15/15 のとき S(r) = (17 - 16/r^2 + 8√(r^2-1)/r)π