4回かけると恒等置換となる置換の数

10項のみの数列a_1～a_10は自然数1～10と1対1に対応する。a_(a_(a_(a_n)))=nが成り立つような(a_1,a_2,…,a_10)の組は何通りあるか。（nyoki1007様）

10個の数を4の約数個の組にわけ、それぞれで巡回を作ればよい。
4つ組の場合は巡回のさせ方が 3! = 6 通りあり、2つ組、1つ組の場合には巡回は1通り。

以下、組の要素数別に条件を満たす数列の個数を数える。

(i) 4, 4, 2 の時
10_C_4 × 6_C_4 / 2 × 36 = 56700 通り

(ii) 4, 4, 1, 1 の時
10_C_4 × 6_C_4 / 2 × 36 = 56700 通り

(iii) 4, 2, 2, 2 の時
10_C_4 × 6_C_2 × 4_C_2 / 3! × 6 = 18900 通り

(iv) 4, 2, 2, 1, 1 の時
10_C_4 × 6_C_2 × 4_C_2 / 2! × 6 = 56700 通り

(v) 4, 2, 1, 1, 1, 1 の時
10_C_4 × 6_C_2 × 6 = 18900 通り

(vi) 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 の時
10_C_4 × 6 = 1260 通り

(vii) 2, 2, 2, 2, 2 の時
10_C_2 × 8_C_2 × 6_C_2 × 4_C_2 / 5! = 945 通り

(viii) 2, 2, 2, 2, 1, 1 の時
10_C_2 × 8_C_2 × 6_C_2 × 4_C_2 / 4! = 4725 通り

(ix) 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 の時
10_C_2 × 8_C_2 × 6_C_2 / 3! = 3150 通り

(x) 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 の時
10_C_2 × 8_C_2 / 2! = 630 通り

(xi) 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 の時
10_C_2 = 45 通り

(xii) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 の時
1 通り

これらを全て合計して、求める数列は 218656 通り存在する。