方程式 [x^2]-[2x]-3=0

[x^2]-[2x]-3=0を満たすxの範囲を求めよ。なお[a]でaを超えない最大の整数を表す。（studio_graph様）

x^2≦[x^2]＜x^2+1 と -2x-1＜-[2x]≦-2x を辺々加えて -3 を加えると
x^2-2x-4＜[x^2]-[2x]-3＜x^2-2x-2

挟まれた部分は 0 なので、0＜x^2-2x-2 かつ x^2-2x-4＜0 の範囲のみ調べればよい。
すなわち 1-√5＜x＜1-√3, 1+√3＜x＜1＋√5 のみ考えればよい。


1-√5＜x＜1-√3 のとき -3≦[2x]≦-2

[2x] = -3 のとき方程式より [x^2] = 0
これは -3/2≦x＜-1 かつ -1＜x＜1 なので解は存在しない。

[2x] = -2 のとき方程式より [x^2] = 1
これは -1≦x＜-1/2 かつ 1≦x^2＜2 なので解は x=-1


1+√3＜x＜1＋√5 のとき 5≦[2x]≦6

[2x] = 5 のとき方程式より [x^2] = 8
これは 5/2≦x＜3 かつ 8≦x^2＜9 なので 2√2≦x＜3

[2x] = 6 のとき方程式より [x^2] = 9
これは 3≦x＜7/2 かつ 9≦x^2＜10 なので 3≦x＜√10


以上より求める範囲は、x=-1, 2√2≦x＜√10