2^n-3^m＝±1 の自然数解

2^n-3^m＝±1が成立するような自然数n,mの組を全て求めよ。（tokoharu_sakura様）

2^n = (3-1)^n より、これを 3 で割った余りは
n が偶数のとき 1, n が奇数の時 2
3^m はもちろん 3 の倍数なので、
n が偶数のときは 2^n - 3^m = 1, n が奇数のときは 2^n - 3^m = -1

n が偶数のとき、n=2k (kは自然数) とおいて、
2^(2k)-1 = 3^m より (2^k+1)(2^k-1) = 3^m
したがって 2^k+1 と 2^k-1 はどちらも 3 の累乗である。
しかしこの 2 数の差は 2 であるので、それは 3 と 1 しかあえりえない。
よって k=1 より n=2, また m=1

n が 1 のとき
2 - 3^m = -1 から m=1

n が 3 以上の奇数のとき
2^n - 3^m = -1 で、2^n は 4 の倍数である。
よって 3^m = (4-1)^m を 4 で割った余りは 1 でなければならず、m は偶数。
このとき m=2p とおいて、
2^n = 3^(2p)-1 = (3^p+1)(3^p-1)
したがって 3^p+1 と 3^p-1 はどちらも 2 の累乗である。
しかしこの 2 数の差は 2 であるので、それは 4 と 2 しかありえない。
よって p=1 より m=2, また n=3

以上より、(n, m) = (1, 1), (2, 1), (3, 2)