約数の総乗があまり大きくならない整数

自然数ｎの異なる正の約数の積をf(n)で表す。ただしn自身もnの約数とみなす。（例えば、f(6)=1×2×3×6=36）x,y,zを負でない整数、n=(2^x)×(3^y)×(5^z)とする。log_n{f(n)}≦3となる組(x,y,z)は何通りか。（tell_bouzu様）

n の約数を N 個とする。

n が非平方数の時は N は偶数で、全約数をうまく対になるようにかけると
その積は n^(N/2) となることが容易にわかる。
また、n が平方数の時は √n 以外をうまく対になるようにかけると、
その積は n^((N-1)/2) × √n でやはり n^(N/2) となる。

すなわち log_n{f(n)} = N/2 であるため、
log_n{f(n)}≦3 というのは N≦6（ただし底の条件より n≧2）と同値である。


ここで、n=(2^x)×(3^y)×(5^z) とすると、N = (x+1)(y+1)(z+1)
よって互いにかけて 6 になる 3 つの自然数の組の数が (x, y, z) の組の数である。

N=1 のとき
1×1×1 は n=1 となってしまうため不適

N=2, 3, 5 のとき
n×1×1 の並べ替えで 3 通りずつ

N=4 のとき
4×1×1 の並べ替えで 3 通り
2×2×1 の並べ替えで 3 通り、計 6 通り

N=6 のとき
6×1×1 の並べ替えで 3 通り
3×2×1 の並べ替えで 6 通り、計 9 通り

これらを合計して 24 通り