n回戦あるトーナメントの組み方の総数

2^n人でトーナメントを行う。全参加者が公平にn回だけ勝ち上がれば優勝するものとすると、何通りのトーナメント表が考えられるか。ただし、「同じトーナメント表」の定義は任意の試合で対戦する可能性のある組が完全に一致するものとする。（tokoharu_sakura様）

求める数を a_n とする。

人数を半分にわけてそれぞれで小さなトーナメントを組むことを考えると

a_(n+1) = (2^(n+1))_C_(2^n) a_n^2 / 2
　　　　　= (2^(n+1))! a_n^2 / 2 (2^n)! (2^n)!

a_(n+1) / 2(2^(n+1))! = ( a_n / 2(2^n)! )^2

これを繰り返し用いると

a_n / 2(2^n)! = ( a_1 / 2(2^1)! )^{2^(n-1)}
　　　　　　　　= (1/4)^{2^(n-1)}
　　　　　　　　= 2^(-2^n)

∴ a_n = 2^(1-2^n) (2^n)!