針金をn分割してn角形を作れる確率

長さLの細い針金を適当な位置でn-1回切ってn本に分ける。このとき、このn本の針金でn角形を作れる確率を求めよ。（tttttanaka様）

k 番目に切る位置を P_k とし、針金に印だけつけた状態を考える。
「n 角形ができる」の余事象「n 角形ができない」について、
「P_k のいずれも存在しないような長さ L/2 以上の区間が存在する」と同値である。
この確率を求める。

P_1 が左半分にあってその右側長さ L/2 にどの点も存在しない確率は、
1/2 × (1/2)^(n-2) = 1/2^(n-1)
P_2 が左半分にあってその右側長さ L/2 にどの点も存在しない確率も同様に 1/2^(n-1)
以下、P_(n-1) まで同様である。
また、全ての点が右半分にある確率は 1/2^(n-1)

これらは全て互いに排反であるので、
P_k のいずれも存在しないような長さ L/2 以上の区間が存在する確率は n/2^(n-1)

これは考える事象の余事象の確率であるので、求める確率は 1 - n/2^(n-1)