(100兆)! の 10^(25兆-1) の位の数字の偶奇

100兆の階乗の右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか。（yudai214様）

100兆の階乗 を素因数分解したときに 5 がいくつ出てくるかを考える。

100兆 までの数字のうち、5 の倍数は 20兆 個ある。
そのうち 5^2 の倍数は 4兆 個ある。
そのうち 5^3 の倍数は 8000億 個ある。
（中略）
そのうち 5^14 の倍数は 2^14 = 16384 個ある。
（ここまでは5でわりきれる数字であった）

そのうち 5^15 の倍数は 3276 個ある。
そのうち 5^16 の倍数は 655 個ある。
そのうち 5^17 の倍数は 131 個ある。
そのうち 5^18 の倍数は 26 個ある。
そのうち 5^19 の倍数は 5 個ある。
そのうち 5^20 の倍数は 1 個ある。

よって 5 は全部で
2^14 * ( 5^14 - 1 ) / 4 + 3276 + 655 + 131 + 26 + 5 + 1
　= 25兆 - 4096 + 4094
　= 25兆 - 2 個でてくる。

2 はこれよりはるかに多く出てくるので、100兆の階乗の右から 25兆-2 個の数字は全て 0 である。


右から 25兆-1 番目の数字を考える。

100兆 までの数字をそれぞれ可能な限り 5 で割った100兆個の数値を考える。
その数値を分類すると
5で割って1余るもの：25兆+3 個
5で割って2余るもの：25兆-1 個
5で割って3余るもの：25兆-1 個
5で割って4余るもの：25兆-1 個
である (∵ 1余るものは 3276*5^15, 131*5^17, 26*5^18, 5^20 の分他より4つ多い）。

また、これらの総乗を A とすると、100兆の階乗/10^(25兆-2) = A/2^(25兆-2) である。

A ≡ 1^(25兆+3) * 2^(25兆-1) * 3^(25兆-1) * 4^(25兆-1) (mod5)
　≡ 1 * 6^(25兆-1) * (-1)^ (25兆-1) (mod5)
　≡ 1 * 1^(25兆-1) * (-1) (mod5)
　≡ -1 (mod5)

この総乗は明らかに偶数であるので、A の末尾の桁は 4 である。

偶数に 2 を繰り返し乗じる場合、末尾の桁は 2→4→8→6→2 と周期変化するので、
A/2^(25兆-2) の末尾は 2 から 25兆-2 回分さかのぼって 8 である。
また、この数は明らかに 4 の倍数であるので下 2 桁は 4 の倍数であり、
それは 08, 28, 48, 68, 88 のいずれかである。

ここで 100兆の階乗/10^(25兆-2) = A/2^(25兆-2) であったことを思い出すと、
100兆の階乗の右から25兆番目の桁の数字は A/2^(25兆-2) の十の位の数字に相当する。
これは 0, 2, 4, 6, 8 のいずれか、すなわち偶数である。

よって 100兆の階乗 の右から数えて25兆番目にある数字は偶数である。