巨大な数の大小比較

3^(3^(3^(3^3)))と10^(10^(10^10))の大小を比較せよ。（wand125様）

以下では log は常用対数とする。
3^5 = 243 ＞ 100 より log3 ＞ 2/5 ＞ 1/3 である。

log log log log 3^(3^(3^(3^3)))
　= log log log { 3^(3^(3^3) log3 }
　＞ log log log { 3^(3^(3^3) × 1/3 }
　= log log { 3^(3^3) log3 - log3 }
　＞ log log { 3^(3^3) log3 × 9/10 }　（∵ 明らかに 3^(3^3) × 1/10 ＞ 1）
　＞ log log { 3^(3^3) × 1/3 × 9/10 }
　= log log { 3^(3^3) × 3/10}
　= log { 3^3 log3 + log3 - 1 }
　＞ log { 3^3 × 2/5 + 2/5 - 1 }
　= log { 51/5 }
　＞ log 10
　= log log log log 10^(10^(10^10))

∴ 3^(3^(3^(3^3))) ＞ 10^(10^(10^10))