末尾の桁の数字を先頭に移動するとk倍になる自然数

0でない自然数の最右端の数字を、最左端に移動する操作を考える。
(i)この操作によってもとの数の2倍になる最小の自然数を求めよ
(ii)k＝3,…,9に対して、この操作でk倍になる最小の自然数を求めよ。（yamadian様）

(i)
条件を満たす数がN+1桁の数であるとすると、AをN桁の数、aを1桁の数として
2(10A+a) = (10^N)a+A を満たす最小のAとその時のaを探せば 10A+a が答えである。
変形すると (10^N-2)a/19 = A
a は19と互いに素なので、(10^N-2)/19 は整数である。

ここで
1/19 = 0.(052631578947368421)
2/19 = 0.(105263157894736842) を比較して、
N=17 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^17-2) * 1 / 19 = 5263157894736842
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺2倍して
(10^17-2) * 2 / 19 = 10526315789473684 の右辺が最小のAとなる。
このとき a=2 なので求める数は 105263157894736842


(ii)
同様に k(10A+a) = (10^N)a+A から (10^N-k)a/(10k-1) = A

(iiA) k=3 のとき
(10^N-3)a/29 = A
a は29と互いに素なので、(10^N-2)/29 は整数である。

ここで
1/29=0.(0344827586206896551724137931)
3/29=0.(1034482758620689655172413793) を比較して、
N＝27 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^27-3) * 1 / 29 = 34482758620689655172413793
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺3倍して
(10^27-3) * 3 / 29 = 103448275862068965517241379 の右辺が最小のAとなる。
このとき a=3 なので求める数は 1034482758620689655172413793


(iiB) k=4 のとき
(10^N-4)a/39 = A
a は13と互いに素なので、(10^N-4)/13 は整数である。

ここで
1/13=0.(076923)
4/13=0.(307692) を比較して、
N=5 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^5-4) * 1 / 13 = 7692
両辺3で割って (10^5-4) * 1 / 39 = 2564
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺4倍して
(10^5-4) * 4 / 39 = 10256
このとき a=4 なので求める数は 102564


(iiC) k=5 のとき
(10^N-5)a/49 = A
a=7 ならば、(10^N-5)/7 は整数
a≠7 ならば、(10^N-5)/49 は整数

ここで
1/7=0.(142857)
5/7=0.(714285)
1/49=0.(020408163265306122448979591836734693877551)
5/49=0.(102040816326530612244897959183673469387755) を比較して、
a=7 のときの N=5 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^5-5) * 1 / 7 = 14285
すなわち、(10^5-5) * 7 / 49 = 14285
a=7 なので求める数は 142857


(iiD) k=6 のとき
(10^N-6)a/59 = A
a は59と互いに素なので、(10^N-2)/59 は整数である。

ここで
1/59=0.(0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661)
6/59=0.(1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966) を比較して、
N＝57 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^57-6) * 1 / 59 = 16949152542372881355932203389830508474576271186440677966
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺6倍して
(10^57-6) * 6 / 59 = 101694915254237288135593220338983050847457627118644067796 の右辺が最小のAとなる。
このとき a=6 なので求める数は 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966


(iiE) k=7 のとき
(10^N-7)a/69 = A
a は23と互いに素なので、(10^N-7)/23 は整数である。

ここで
1/23=0.(0434782608695652173913)
4/23=0.(3043478260869565217391) を比較して、
N=21 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^21-7) * 1 / 23 = 43478260869565217391
両辺3で割って (10^21-7) * 1 / 69 = 14492753623188405797
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺7倍して
(10^21-7) * 7 / 69 = 101449275362318840579
このとき a=7 なので求める数は 1014492753623188405797


(iiF) k=8 のとき
(10^N-8)a/79 = A
a は79と互いに素なので、(10^N-8)/79 は整数である。

ここで
1/79=0.(0126582278481)
8/79=0.(1012658227848) を比較して、
N＝12 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^12-8) * 1 / 79 = 12658227848
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺8倍して
(10^12-8) * 8 / 79 = 101265822784 の右辺が最小のAとなる。
このとき a=8 なので求める数は 1012658227848


(iiG) k=9 のとき
(10^N-9)a/89 = A
a は89と互いに素なので、(10^N-9)/89 は整数である。

ここで
1/89=0.(01123595505617977528089887640449438202247191)
9/89=0.(10112359550561797752808988764044943820224719) を比較して、
N＝43 がこの条件を満たす最小のNである。

このとき、(10^43-9) * 1 / 89 = 112359550561797752808988764044943820224719
しかしこれの右辺をAとするには1桁足りないので両辺9倍して
(10^43-9) * 9 / 89 = 1011235955056179775280898876404494382022471 の右辺が最小のAとなる。
このとき a=9 なので求める数は 10112359550561797752808988764044943820224719