確率で増減するお金がなくなる日数の期待値

A君は1円持っている。1日経つとx％の確率で所持金を1円失い、(100-x)％の確率で所持金が倍になる。A君の所持金が0円になるまでの日数の期待値が有限であるとき、xのとりうる値を求めよ。（alan_i_jp様）

正十二面体の最も離れた2頂点間の移動の道のり

１辺の長さが１の正十二面体の最も離れた２頂点間を以下の経路で移動するとき、道のりの最小値をそれぞれ求めよ。
(i)辺上を移動するとき。
(ii)表面を移動するとき。
(iii)内部を移動するとき。（atNous様）

（注：機種依存文字が含まれていたため問題番号部分の書き換えを行いました）

5 次元超楕円体の体積

5次元であるvwxyz空間において、各座標の1目盛りを1cmとする。この時、不等式(v/27)^2＋(w/4)^2＋x^2＋(2y)^2＋(3z)^2≦1を満たす物体の体積を、単位cm^5を用いて表せ。（average34様）

素数の平方根の無理性の証明

pが素数の時√pは無理数となる事を証明せよ。（axjack_様）

傾いた楕円を与える二次曲線の方程式

２次曲線21x^2-10√3xy＋31y^2-114√3x＋246y＋567＝0について
１）この曲線と直線y＝-√3xが囲む図形のうち、小さい方の面積Sを求めよ。
２）この曲線と直線y＝-√3x＋3の交点の座標及びこの交点でのこの曲線の接線を求めよ。（azulune様）