三角関数の加法定理を満たす関数の性質

実数全域で２階微分可能な定数関数でない実関数h(x)が任意のx,yについて次の２式
h(x＋y)＝h(x)h'(y)＋h'(x)h(y)
h'(x＋y)＝h'(x)h'(y)-h(x)h(y)
を満たす。この時{h(x)}^2＋{h'(x)}^2＝1を示せ。（nyoki1007様）

1000を互いに素な自然数の和に書く方法

１）自然数nを２つの自然数p,qの和(n＝p＋q)に分解した時、常にp,qが互いに素であるならば、nは素数であることを示せ。
２）1000を２つの互いに素な自然数の和に分解する方法は何通りか。ただし和の順番を入れ替えたものは同じとみなす。（nyoki1007様）

正四面体の二頂点と辺上の無作為な点を結んでできる三角形

1辺の長さが1の正四面体OABCの辺上にランダムに点Pをおく。
１）△OAPの面積の期待値を求めよ。
２）OAの中点をMとする。△OMPの面積の期待値を求めよ。
ただしいずれの場合も３点が三角形を形成しないときは面積を0とする。（nyoki1007様）

三角形の五心を各辺に対して対称移動してできる三角形

△ABCの内部の点Oに対し、直線AB、BC、CAについての対称点をそれぞれ点P、Q、Rとする。△PQRが正三角形のとき、△ABCも正三角形であることを点Oが△ABCの
１）内心
２）外心
３）垂心
であった場合について証明せよ。（nyoki1007様）

積分が最小となるパラメータの決定

a、bは実変数とし、p、qは実定数であり、p＜qとする。f(x)＝x^2＋ax＋bとおくとき、pからqまでの|f(x)|の定積分の最小値をp、qを用いて表せ。また最小値を取るときのa、bの条件をp、qを用いて答えよ。（nyoki1007様）